الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 1

أوجِد القيم الذاتية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة $p (λ)$ .

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{2})$

خطوة 1.2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم $2$ هي المصفوفة المربعة $2 \times 2$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 1.3

عوّض بالقيم المعروفة في $p (λ) = محدِّد (A - λ I_{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $A$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] - λ I_{2})$

خطوة 1.3.2

عوّض بقيمة $I_{2}$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

اضرب $- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 1.4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

أضف $1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.2

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.5

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (1 - λ) + 0 \cdot 1$

خطوة 1.5.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.1

وسّع $(1 - λ) (1 - λ)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 1 (1 - λ) - λ (1 - λ) + 0 \cdot 1$

خطوة 1.5.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ (1 - λ) + 0 \cdot 1$

خطوة 1.5.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) + 0 \cdot 1$

خطوة 1.5.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.2.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$p (λ) = 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) + 0 \cdot 1$

خطوة 1.5.2.1.2.1.2

اضرب $- λ$ في $1$ .

$p (λ) = 1 - λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) + 0 \cdot 1$

خطوة 1.5.2.1.2.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = 1 - λ - λ - λ (- λ) + 0 \cdot 1$

خطوة 1.5.2.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = 1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 1$

خطوة 1.5.2.1.2.1.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.2.1.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = 1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 1$

خطوة 1.5.2.1.2.1.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = 1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 1$

خطوة 1.5.2.1.2.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = 1 - λ - λ + 1 λ^{2} + 0 \cdot 1$

خطوة 1.5.2.1.2.1.7

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = 1 - λ - λ + λ^{2} + 0 \cdot 1$

خطوة 1.5.2.1.2.2

اطرح $λ$ من $- λ$ .

$p (λ) = 1 - 2 λ + λ^{2} + 0 \cdot 1$

خطوة 1.5.2.1.3

اضرب $0$ في $1$ .

$p (λ) = 1 - 2 λ + λ^{2} + 0$

خطوة 1.5.2.2

أضف $1 - 2 λ + λ^{2}$ و $0$ .

$p (λ) = 1 - 2 λ + λ^{2}$

خطوة 1.5.2.3

انقُل $1$ .

$p (λ) = - 2 λ + λ^{2} + 1$

خطوة 1.5.2.4

أعِد ترتيب $- 2 λ$ و $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ + 1$

خطوة 1.6

عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد القيم الذاتية $λ$ .

$λ^{2} - 2 λ + 1 = 0$

خطوة 1.7

أوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$λ^{2} - 2 λ + 1^{2} = 0$

خطوة 1.7.1.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 λ = 2 \cdot λ \cdot 1$

خطوة 1.7.1.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$λ^{2} - 2 \cdot λ \cdot 1 + 1^{2} = 0$

خطوة 1.7.1.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = λ$ و $b = 1$ .

${(λ - 1)}^{2} = 0$

خطوة 1.7.2

عيّن قيمة $λ - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ - 1 = 0$

خطوة 1.7.3

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$λ = 1$

خطوة 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

خطوة 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اطرح العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 1 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اطرح $1$ من $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2

اطرح $0$ من $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.3

اطرح $0$ من $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 1 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.4

اطرح $1$ من $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3

Find the null space when $λ = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$y = 0$

$0 = 0$

خطوة 3.3.3

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.4

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = x [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.5

Write as a solution set.

${x [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}] | x \in R}$

خطوة 3.3.6

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}]}$

خطوة 4

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}]}$